Izpratne par korelāciju

S.I.L.S - Izpratne par skaistumu (Jūnijs 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Izpratne par korelāciju


Šis raksts sniedz ieskatu korelācijas praktiskajos aspektos, jo īpaši autokorelācijas un savstarpējās korelācijas pielietojumos.

Korelācijas jēga

Kopumā korelācija apraksta savstarpējās attiecības, kas pastāv starp divām vai vairākām lietām. Tāda pati definīcija ir laba pat signālu gadījumā. Tas ir, korelācija starp signāliem norāda mērvienību, līdz kuram dotais signāls atgādina citu signālu.

Citiem vārdiem sakot, ja mēs vēlamies uzzināt, cik liela līdzība pastāv starp signāliem 1 un 2, tad mums ir jānoskaidro signāla 1 korelācija attiecībā uz signālu 2 un otrādi.

Korelācijas veidi

Atkarībā no tā, vai korelācijai ņemtie signāli ir vienādi vai atšķirīgi, mums ir divu veidu korelācija: autokorelācija un savstarpējā korelācija.

Autokorelācija

Šis ir korelācijas veids, kurā dots signāls ir saistīts ar sevi, parasti pati mainītā versija. Nepārtrauktā laika signāla x ( t ) autokorelācijas matemātiskā izteiksme tiek apzīmēta ar

$$ R_ {xx} \ left (\ tau \ right) = \ int _ (- \ infty) ^ (\ infty) x \ left (t \ right) x ^ {\ star} \ left (t- \ tau \ right ) dt $ $

kur $ $ {\ star} $ $ apzīmē komplekso konjugātu.

Līdzīgi diskrēta laika signāla x ( n ) autokorelāciju izsaka kā

(N \ right) x ^ {\ star} \ left (nm \ right) $ $ R_ {xx} \ left (m \ right) = \ sum_ (n = - \ infty) ^ (\ infty) x \ left $

Tālāk jebkura dotā signāla autokorelāciju var arī aprēķināt, izmantojot grafisko paņēmienu. Procedūra ietver bloķēšanu ar doto signālu ar laiku mainītu versiju, aprēķinot paraugus katrā intervālā. Tas nozīmē, ka, ja dots signāls ir digitāls, tad mēs katru reizi pārslēdzam norādīto signālu ar vienu paraugu un pārklāj to ar sākotnējo signālu. To darot, mēs veicam reizināšanu un pievienošanu katrai pārejai un pārklāšanai.

Piemēram, ciparu signāla autokorelāciju x ( n ) = {-1, 2, 1} var aprēķināt, kā parādīts 1. attēlā.

1. attēls: grafiskās metodes autokorelācijas noteikšanai

Šeit pirmais paraugu komplekts (tie, kas katras tabulas pirmajā rindā) attiecas uz doto signālu. Otrais komplekts (katras tabulas otrajā rindā) attiecas uz tā novirzītās versijas paraugiem. Tālāk paraugi, kas parādīti sarkanā krāsā trešajā rindā, tiek iegūti, reizinot pirmās divas rindas atbilstošos paraugus.

Visbeidzot, mēs pievienojam paraugus pēdējā parauga rindā (ietverti liektajās iekavās), lai iegūtu automātiski korelēta signāla paraugus.

Tādējādi šeit mēs konstatējam, ka autokorelētā signāla Rxx paraugi ir {-1, 0, 6, 0, -1}, kur 6 ir zerotveida paraugs.

Iesniegtais piemērs parāda, ka automātiski koriģētā signāla paraugs būs tā maksimālā vērtība, ja pārklāšanās signāls vislabāk atbilst attiecīgajam signālam. Šajā gadījumā tas notiek, ja laika maiņa ir nulle.

Cross-Correlation

Šī ir sava veida korelācija, kurā signāls sevī ir saistīts ar citu signālu, lai zinātu, cik liela līdzība pastāv starp tiem. Nepārtraukto laika signālu x ( t ) un y ( t ) savstarpēju korelāciju matemātiskā izteiksme tiek dota ar

$$ R_ {xy} \ left (\ tau \ right) = \ int _ (- \ infty) ^ (\ infty) x \ left (t \ right) y ^ {\ star} \ left (t- \ tau \ right ) dt $ $

Tāpat arī diskrēto laika signālu x ( n ) un y ( n ) savstarpējā korelācija tiek izteikta kā

$ \ R \ {x \} \ left (m \ right) = \ sum_ (n = - \ infty) ^ (\ infty) x \ left (n \ right) y ^ {\ star} \ left (nm \ right) $

Tālāk, tāpat kā autokorelācijas gadījumā, visu divu doto signālu savstarpēju korelāciju var atrast, izmantojot grafiskos paņēmienus. Šajā gadījumā viens signāls tiek slīdēts uz otru, aprēķinot paraugus katrā intervālā. Tas nozīmē, ka ciparu signālu gadījumā katru reizi viens paraugs tiek pārvietots pa labi, un tad tiek aprēķināta pārklājošo paraugu produkta summa.

Piemēram, ciparu signālu korelāciju x (n) = {-3, 2, -1, 1} un y (n) = {-1, 0, -3, 2} var aprēķināt, kā parādīts attēlā 2

2. attēls: grafiskā metode krustotas korelācijas iegūšanai

Šeit pirmais paraugu komplekts (katras tabulas pirmajā rindā) attiecas uz signālu x (n), bet otrais attiecas uz signāla y (n) paraugiem (katras tabulas otrajā rindā).

Tālāk paraugi, kas norādīti zilā krāsā - tie, kas atrodas trešajā rindā, tiek iegūti, reizinot pirmās divas rindas atbilstošos paraugus. Visbeidzot, mēs pievienojam paraugus pēdējā rindā (kas iekļauti lokveida iekavās), lai iegūtu paraugus no savstarpēji korelēta signāla.

Tādējādi šeit mēs redzam, ka savstarpēji korelēta signāla Rxy paraugi tiek iegūti kā {-6, 13, -8, -8, -5, 1, -1}, kur 8 ir zerotisks paraugs.

Turklāt uzrādītais piemērs parāda, ka korelēta signāla paraugs ir visaugstākajā maksimālajā līmenī ar vērtību 13, kad pēdējie divi y ( n ) paraugi pārklājas ar pirmajiem diviem x ( n ) paraugiem. Tas ir tādēļ, ka šajā gadījumā otrais signāls pārklājas ar pirmo, jo abi paraugi katrā signālam ir identiski.

Tādējādi var secināt, ka savstarpējā korelācija sasniedz maksimumu, ja abi minētie signāli visbiežāk ir līdzīgi.

Analīze

Tagad, kad mēs esam aplūkojuši formulējumu un grafisko aprēķinu korelāciju, mēģināsim analizēt dažus gadījumus, kas pastiprina korelāciju nozīmi praktiskajos scenārijos.

1. gadījums: periodiskuma noteikšana

Pieņemsim, ka mums tiek lūgts noteikt saņemtā digitālā signāla s ( n ) periodiskumu. Uzdevumu var izpildīt, automātiski sakārtojot norādīto signālu s ( n ) ar pati pārvietoto laiku.

Tagad pieņemsim, ka iegūtais rezultāts ir tāds, kā parādīts 3. attēlā, kur pirmā maksimālā vērtība 23 iegūst laikā n = 6. Pagriežot gar laika asi, nākamais maksimums ir pie n = 12 un ir vienāds ar vērtību no 23 atkal (mūsu otrais maksimums). Turklāt vienāda vērtība 23 ir arī pie n = 18 (mūsu trešais maksimums).

Tas norāda, ka grafikā tiek parādīta vērtība 23 ar regulāriem intervāliem no 6 (= 12 - 6 un arī = 18 - 12) paraugiem. Tādējādi mēs varam secināt, ka dotajam signālam ir periodu n = 6 paraugi.

3. attēls: tipisks piemērs, kas parāda korelācijas izmantošanu, lai noteiktu signāla periodiskumu

Ņemot vērā šo secinājumu, mēs varētu sagaidīt, ka nākamais maksimums parādīsies pie n = 24 (= 18 + 6). Tomēr diagrammā vērtība pie n = 24 ir 23, nevis 23. Ko tas nozīmē! "" Src = "// www.allaboutcircuits.com/uploads/articles/FIgure4_Corr.jpg" />

4. attēls: nosūtīts signāls (a) un (b) saņemts komunikācijas kanālā

Iegūtais rezultāts parādīts 5. attēlā, kas skaidri parāda maksimumu laikā t = 10. Tas nozīmē, ka saņemtais signāls vislabāk atbilst testa signālam, kad testa signāls tiek pārvietots pa 10 vienībām gar laika asi.

5. attēls: 4. attēlā parādīto signālu savstarpēja korelācija

Analizējot laika maiņas gadījumu, ļaujiet mums pāriet vēl vienu soli uz priekšu. Tas nozīmē, ka tagad pieņemsim, ka saņemtais signāls ir ne tikai novirzīts, bet arī ir bojāts troksnis.

6.a attēlā redzams tāds pats signāls kā 4.b attēlā, bet ar pievienotu troksni.

6.b attēlā parādīta 6a savstarpējā korelācija ar oriģinālu nosūtīto signālu no 4.a attēla. Šeit ir svarīgi atzīmēt, ka pat šis signāls parāda maksimumu tajā pašā punktā gar laika asi: t = 10.

6. attēls: (a) signāls no 4b ar pievienoto troksni un (b) krusteniskās korelācijas rezultāts 6a ar 4a

7.a attēlā parādīts daudz sliktāks gadījums, kad troksni ļoti ietekmē signāls, līdz brīdim, kad ir ļoti grūti noteikt signāla formu ar tukšām acīm. Tomēr jūs varat redzēt, ka attiecīgais korelētais signāls (7b. Attēls) ir gandrīz tajā pašā punktā maksimums.

7. attēls: a) sākotnējais signāls no 4a, kas attēlots ar lielu trokšņa daudzumu, un b) korelēts signāls

5., 6.b un 7.b attēlā redzams, ka signāla korelācija saglabājas gandrīz vienāda, pat ja saņemtais signāls ir ļoti bojāts trokšņa dēļ.

Pieteikumi

Kā mēs redzējām iepriekš minētajos piemēros, korelācija ir noderīga reālās pasaules scenārijos. Patiesībā ir daudz praktisku pielietojumu korelācijai. Šeit ir tikai daži:

  1. Signāla apstrāde saistībā ar cilvēka dzirdi: cilvēka auss interpretē signālus, kas ir gandrīz periodiski signāli, kas ir tieši periodiski. Tas ir tāpat kā gadījums, kad automātiski korelētai signālai regulāri tiek parādīti nedaudz atšķirīgi maksimuma lielumi.
  2. Vokālā apstrāde: korelācija var palīdzēt noteikt tempu vai piķi, kas saistīti ar mūzikas signāliem. Iemesls ir fakts, ka autokorelāciju var efektīvi izmantot, lai identificētu atkārtotus modeļus jebkurā konkrētā signā.
  3. Sinhronizācijas impulsu noteikšana : sinhronizācijas impulsi saņemtajā signālā, kas savukārt atvieglo datu izguves procesu saņēmēja galā. Tas ir tāpēc, ka zināmo sinhronizācijas impulsu korelācija ar ienākošo signālu izpaužas kā maksimums, kad tajā tiek saņemti sinhronizācijas impulsi. Pēc tam šo punktu saņēmējs var izmantot kā atskaites punktu, kas padara sistēmu saprotamu, ka signāla daļa, kas pēc tam tiek parādīta (līdz brīdim, kad ir iegūta vēl viena maksimālā vērtība korelētajā signālā, kas norāda uz sinhronizācijas impulsa esamību), satur datus.
  4. Radara tehnika: korelācija var palīdzēt noteikt mērķa un tā diapazona klātbūtni no radara iekārtas. Kad tiek rādīts mērķis, radars nosūta signālu, kas to izkliedē, un atgriežas raidītāja antenā pēc tam, kad tā ir ļoti vājināta un bojāta ar troksni. Ja mērķa nav, tad saņemtais signāls būs tikai troksnis. Tagad, ja mēs korelējam ierodamo signālu ar nosūtīto signālu un, ja mēs iegūstam maksimumu noteiktā punktā, tad mēs varam secināt, ka mērķis ir pieejams. Turklāt, zinot, ka starp nosūtīto un saņemto signālu laika nobīdi (ko norāda laika momentā, kurā korelētais signāls izstaro maksimumu), mēs pat varam noteikt attālumu starp mērķi un radaru.
  5. Digitālo sakaru interpretācija, izmantojot troksni. Kā parādīts iepriekš, korelācija var palīdzēt ciparu sakariem, iegūstot bitus, ja saņemtais signāls ir ļoti bojāts trokšņa dēļ. Šeit uztvērējs korelē saņemto signālu ar diviem standarta signāliem, kas norāda attiecīgi "0" un "1" līmeni. Tagad, ja signāls ļoti korelē ar standarta signālu, kas norāda '1' līmeni vairāk nekā ar '0', tas nozīmē, ka saņemtais bits ir '1' (vai otrādi).
  6. Impulsa reakcijas identifikācija: Kā parādīts iepriekš, sistēmas produkcijas savstarpējā korelācija ar tās ievadi rada impulsa reakciju, ja ieeja ir nulles vidējais vienības dispersijas baltais gausa troksnis.
  7. Attēlu apstrāde: korelācija var palīdzēt novērst dažāda apgaismojuma ietekmi, kas izraisa attēla spilgtuma izmaiņas. Parasti tas tiek panākts, savstarpēji korelējot attēlu ar noteiktu veidni, kurā aplūkotais attēls tiek meklēts atbilstošajām daļām, salīdzinot ar veidni (veidņu saskaņošana). Turpmāk tiek atklāts, ka tas veicina tādus procesus kā sejas atpazīšana, medicīniskā attēlveidošana, mobilo robošu navigācija uc
  8. Lineārās prognozēšanas algoritmi . Prognozēšanas algoritmos korelācija var palīdzēt uzminēt nākamo paraugu, lai atvieglotu signālu saspiešanu.
  9. Mašīnu mācīšana: Korelācija tiek izmantota mašīntulkošanas nozarēs, piemēram, modeļa atpazīšanā, kuras pamatā ir korelācijas klasterizācijas algoritmi. Šeit datu punkti tiek sagrupēti grupās, pamatojoties uz to līdzību, ko var iegūt pēc to korelācijas.
  10. SONAR: Korelāciju var izmantot tādos pielietojumos kā ūdens satiksmes monitorings. Tas ir balstīts uz faktu, ka signālu korelācijai, ko saņem dažādi čaulas, būs savlaicīgi novērojama atšķirība, un tādējādi to atrašanās vietu var viegli atklāt.

Papildus tam korelācija tiek izmantota arī, lai izpētītu trokšņu ietekmi uz signāliem, analizētu fraktāļu modeļus, raksturotu ultrafast lāzera impulsus un daudzos citos gadījumos.

Kopsavilkums

Šajā rakstā aplūkotā diskusija pastiprina faktu, ka korelācijas darbība ir daudzu signālu apstrādes programmu neizbēgama daļa.