Polāra forma un taisnstūra formas apzīmējums kompleksajiem numuriem

Jo Jet i Maria Ribot - Ara és demà (poema de Miquel Martí i Pol) (Jūnijs 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Polāra forma un taisnstūra formas apzīmējums kompleksajiem numuriem

2.nodaļa - kompleksi numuri


Lai strādātu ar sarežģītiem numuriem, neizmantojot vektorus, mums vispirms ir nepieciešams kāds standarta matemātiskais apzīmējums. Pastāv divas sarežģītas skaitliskās noformējuma pamatveidības formas: polārā un taisnstūrveida .

Kompleksā numura polāro formu

Polāra forma ir, ja kompleksu numuru apzīmē ar garumu (ko sauc arī par lielumu, absolūto vērtību vai moduli ) un tā vektora leņķi (parasti to apzīmē ar leņķa simbolu, kas izskatās šādi: ∠).

Lai izmantotu karšu analogiju, no Ņujorkas uz San Diego vektora polāro atzīmi būtu kaut kas līdzīgs "2400 jūdzes, dienvidrietumos." Šeit ir divi vektoru un to polāro apzīmējumu piemēri:

Vektori ar polāro apzīmējumu.

Standarta orientācija vektora leņķiem maiņstrāvas cirkulācijas aprēķinos 0 o nozīmē kā labo (horizontāli), 90 ° taisni uz augšu, 180 ° pa kreisi un 270 ° taisni uz leju. Lūdzu, ņemiet vērā, ka vektoriem, kas ir leņķiski "uz leju", var būt polu formā norādītie leņķi kā pozitīvi skaitļi, kas pārsniedz 180, vai negatīvi skaitļi ir mazāki par 180. Piemēram, var teikt, ka vektoram ar leņķi ∠ 270 o (taisni uz leju) ir arī leņķis -90 o . (Attēls zemāk) Iepriekšējo vektoru pa labi (7.81 ∠ 230.19 o ) var arī apzīmēt kā 7.81 ∠ -129.81 o .

Vektora kompass

Sarežģītā skaitļa taisnstūra forma

Taisnstūra forma, no otras puses, ir vieta, kur komplekso numuru apzīmē ar tās horizontālajām un vertikālajām sastāvdaļām. Būtībā leņķveida vektors tiek uzskatīts par labā trīsstūra hipotenusu, ko apraksta blakus esošo un pretējo pusi. Tā vietā, lai aprakstītu vektora garumu un virzienu, apzīmējot lielumu un leņķi, tas tiek raksturots kā "cik tālu pa kreisi / pa labi" un "cik tālu ir uz augšu / uz leju".

Šos divdimensiju attēlus (horizontāli un vertikāli) simbolizē divi skaitliskie skaitļi. Lai horizontālos un vertikālos izmērus atšķirtu viens no otra, vertikālai pretstata ir mazais burts "i" (tīrā matemātikā) vai "j" (elektronikā). Šie mazie burti neatspoguļo fizisko mainīgo (piemēram, momentāno strāvu, ko simbolizē mazais burts "i"), bet gan matemātiskie operatori, kurus izmanto, lai atšķirtu vektora vertikālo komponentu no tā horizontālā komponenta. Kā pilnīgu kompleksu numuru horizontālie un vertikālie daudzumi tiek uzrakstīti kā summa: (attēls zemāk)

"Taisnstūrveida" formā vektora garumu un virzienu apzīmē ar horizontālo un vertikālo platumu, pirmo skaitli veido horizontālais ("reālais") un otrais skaitlis (ar "j" prefiksu), kas attēlo vertikāli (" iedomāts ") izmēri.

Horizontālo komponentu sauc par reālo sastāvdaļu, jo šī dimensija ir saderīga ar normāliem, skalāriem ("reāliem") skaitļiem. Vertikālo komponentu sauc par iedomātu sastāvdaļu, jo šī dimensija atrodas citā virzienā, kas pilnīgi ir svešs reālo skaitļu mērogā. (Attēls zemāk)

Vektora kompass, kurā parādās reālas un iedomātas asis

Diagrammas "reālā" ass atbilst iepriekš pazīstamajai skaitļa līnijai: tā ir ar pozitīvām un negatīvām vērtībām. Diagrammas "iedomātā" ass koordinācija atbilst citai skaitļa līnijai, kas atrodas pie "reālās" pozīcijas 90 o . Vektoriem, kas ir divdimensiju lietas, mums ir jābūt divdimensiju "kartei", uz kuras tos izteikt, tādējādi divas skaitļu līnijas, kas ir perpendikulāras viena otrai: (attēls tālāk)

Vector kompass ar reālu un iedomātu ("j") numuru līnijām.

Konvertēšana no polāra formas uz taisnstūrveida formu

Katra apzīmējuma metode ir derīga sarežģītiem numuriem. Galvenais iemesls tam, ka ir divas apzīmējuma metodes, ir vienkāršs ilgtermiņa aprēķins, taisnstūrveida forma aizdod sevi pie pievienošanas un atņemšanas, un polāro formu aizdod sevi pavairošanai un sadalīšanai. Konvertēšana starp divām apzīmēšanas formām ietver vienkāršu trigonometrijas metodi. Lai pārveidotu no polārā uz taisnstūrveida, atrodiet īsto komponentu, reizinot polāro lielumu ar leņķa kosinēziju un iedomātu komponenti, reizinot polāro lielumu ar leņķa sine. To var saprast vieglāk, novietojot daudzumus kā labā trijstūra malas, trijstūra hipotenūza, kas attēlo pašu vektoru (tā garums un leņķis attiecībā pret horizontālo formu, kas veido polāro formu), horizontālās un vertikālās puses, kas apzīmē " reālās "un" iedomātas "taisnstūra sastāvdaļas: (attēls zemāk)

Lieluma vektors reālā (4) un iedomātā (j3) komponentu izteiksmē.

Konvertēšana no taisnstūra formas uz polāro formu

Lai pārveidotu no taisnstūrveida uz polāru, atrodiet polāro lielumu, izmantojot Pythagorean teorēmu (polāro lielumu veido labā trīsstūra hipotenūza un reālās un iedomātas sastāvdaļas ir attiecīgi blakus esošās un pretējās malas) un leņķi ņemot iedomātas sastāvdaļas arktangensu, kas dalīta ar īsto komponentu:

PĀRSKATS:

  • Polāra apzīmējums apzīmē sarežģītu skaitu, ņemot vērā tā vektora garumu un leņķisko virzienu no sākuma punkta. Piemērs: lidojiet 45 jūdzes ∠ 203 o (rietumos uz dienvidrietumiem).
  • Taisnstūra apzīmējums apzīmē kompleksu numuru horizontālo un vertikālo dimensiju izteiksmē. Piemērs: brauciet 41 km uz rietumiem, pēc tam pagriezieties un brauciet 18 jūdzes uz dienvidiem.
  • Taisnstūrveida apzīmējumā pirmais daudzums ir "reālā" komponents (vektora horizontālā dimensija), un otrais daudzums ir "iedomātā" komponents (vektora vertikālā dimensija). Iedomāto komponentu ievada mazais burts "j", ko reizēm sauc par j operatoru .
  • Gan polāro, gan taisnstūra formas apzīmējumus kompleksam skaitlim var grafiski saistīt taisna trijstūra formā ar hipotenusu, kas attēlo pašu vektoru (polāro formu: hipotenūzes garums = lielums, leņķis attiecībā pret horizontālo pusi = leņķis), horizontāla puse, kas attēlo taisnstūra "reālo" komponentu, un vertikālā puse, kas attēlo taisnstūra "iedomātu" komponentu.