Multirate DSP un tās pielietojums A / D reklāmguvumos

Down Sampling and Up Sampling - Discrete Time Signal Processing (Jūnijs 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Multirate DSP un tās pielietojums A / D reklāmguvumos


Šajā rakstā ir apskatīts multiraižu DSP pielietojums, lai panāktu efektīvāku A / D pārveidi, un precizē, kāpēc vienā sistēmā ir vajadzīgi atšķirīgi paraugu ņemšanas rādītāji.

Ciparu signālu apstrādē mums parasti ir jāmaina signāla paraugu ņemšanas ātrums, lai panāktu efektīvāku sistēmu. Sistēmā vairāk nekā viena paraugu ņemšanas frekvence tiek saukta par daudzpakāpju signālu apstrādi.

ADC pārveido nepārtrauktu signālu, $ $ x_c (t) $ $, digitālā secībā. Šajā nolūkā tas ņem parauga ievades signālu un kvantificē katra parauga amplitūdu.

Periodiskā izlase

Paraugu ņemšanas darbību var matemātiski modelēt, vispirms reizinot nepārtrauktā laika signālu ar impulsa vilcienu un pēc tam pārvēršot rezultātu diskrētā laika secībā. Gala rezultāts būs diskrēta laika secība $ $ x (n) $ $, ko piešķir

$$ x (n) = x_ (c) (nT) $ $, $ $ - \ infty <n <+ \ infty $$

kur $ $ T $$ ir paraugu ņemšanas periods, un tā abpusēja ir paraugu ņemšanas frekvence $ $ f_s $$. Paraugu ņemšanas darbību var attēlot ar sistēmu, ko sauc par ideālu nepārtrauktu un diskrētu laika (C / D) pārveidotāju. C / D pārveidotāja un atbilstošo viļņu formas bloks ir parādīts 1. attēlā.

1. attēls. AC / D pārveidotājs reizina ievadi ar impulsa vilcienu s (t) un ģenerē diskrēto laika secību. Image pieklājīgi no diskrēta laika signālu apstrādes.

Ņemiet vērā, ka 1.attēlā $$ x_ (s) (t) $ $ joprojām ir nepārtraukts signāls; Tomēr $ $ x (n) $ $ ir diskrēta laika secība, kurā x ass tiek normalizēta ar $ $ T $ $.

Parauga signāla Furjē pārveidošana

Kā parādīts 1. attēlā, paraugu ņemšanas laikā ievade tiek reizināta ar impulsu vilcienu, un tā ir

(t) \ times \ sum_ (n = - \ infty) ^ (+ \ infty) \ delta (t) = x_ {s} (t) = x_ (t-nT) $ $

1. vienādojums

Multiplikācija laika domēnā atbilst frekvences domēna konvolācijai, un iegūstam (Pielikums, vienādojums A1)

$$ X_ {s} (j \ Omega) = \ frac {1} {T} \ sum_ (n = - \ infty) ^ (+ \ infty) X_ (c) (j (\ Omega-k \ Omega_ {s })) $ $

2. vienādojums

kur $ $ \ Omega $$ un $ $ \ Omega_s = \ frac (2 \ pi) (T) $ $ attiecīgi apzīmē frekvenci un paraugu ņemšanas frekvenci radians / second. $ $ X_s (j \ Omega) $ $ un $ $ X_c (j \ Omega) $$ pārstāv $$ x_ (s) (t) $ $ un $$ x_ (c) (t) $ $ Furjē pārveidojumu, attiecīgi. Ņemiet vērā, ka 2. vienādojumā tiek parādīts $$ x_ (s) (t) $ $ Furjē pārveidojums, nevis $$ x (n) $ $; tomēr šī panta nolūkā mums nav jāzina Furjē transformācija no $ $ x (n) $ $. 2. vienādojums parāda svarīgu saikni starp $$ x_c (t) $ $ un $ $ x_s (t) $ $ Furjē transformāciju. Saskaņā ar šo vienādojumu, ja mēs ignorējam mērogošanas koeficientu $ $ \ frac {1} {T} $ $, $ $ X_ (s) (j \ Omega) $ $ ir kopijas $ $ X_ (c) (j \ Omega ) $ $ ar $ $ \ Omega _ (s) $ $ daudzkārtnēm. Tas ir parādīts 2. attēlā.

2. attēls. Signāla impulsu vilciena daudzkārtne noved pie ieejas spektra kopijām ar paraugu ņemšanas frekvenci. Image pieklājīgi no diskrēta laika signālu apstrādes.

Nyquist paraugu ņemšanas teorēma

Mēs vēlamies, lai $ $ x_ (s) (t) $ $ būtu attēlojums $$ x_ (c) (t) $ $. Jautājums ir, vai mēs varam rekonstruēt sākotnējo pastāvīgā laika signālu no $ $ x_ (s) (t) $$ "" src = "// www.allaboutcircuits.com/uploads/articles/Fig3m6132017.png" />

3. attēls. A) Ievades signāla spektrs. (b) Ideāls anti-aliasing filtrs, kas nepieciešams, ja izmanto $ $ fs = 44kHz $ $. (c) izlases ātruma palielināšana atvieglo analogās filtra prasības. d) vispārējā sistēma, kas izmanto gan analogo, gan digitālo filtrēšanu. Image courtesy of IEEE.

Par laimi, pēc ADC mums ir iespēja izmantot digitālo filtru (3. att. D)), kas var piedāvāt gan asu pāreju, gan lineārās fāzes reakciju. Tādā veidā mēs varam pietiekami apturēt nevēlamās komponentes no $ 22kHz $ $ līdz $ $ 44kHz $ $.

Līdz šim mūsu sistēma nav daudzkrāsains, jo sistēmā ir tikai viena paraugu ņemšanas frekvence. Kopējā sistēma, kas iegūta no diviem filtriem (analogais prefiltra un digitālais filtrs) un analogo-ciparu pārveidotājs, ir ekvivalenta tam, ko iegūst ar asu analoģisku pretplūsmas filtru ar 22 kHz frekvences joslu un ADC paraugu ņemšanu ar 88 kHz.

Bet vai šī sistēma ir efektīva? Vai mums patiešām ir jāizmanto $ 88 000 $ $ paraugi sekundē, lai attēlotu signālu, kam nav frekvences komponenti virs $ 22kHz $ $? Ņemiet vērā, ka pēc analogā prefiltra vēl joprojām varētu būt frekvences komponenti starp $ $ 22kHz $ $ un $ $ 44kHz $ $, taču tos noņems ar digitālo filtru. Un mēs zinām, ka saskaņā ar Nyquist kritēriju mums ir vajadzīgi $ $ 44 000 $ $ paraugi sekundē, lai pārstāvētu mūsu ievades signālu, kura enerģija ir zemāka par $ 22kHz $ $. Tas nozīmē, ka mēs varam atbrīvoties no iepriekš minētās sistēmas izejas paraugiem un saglabāt visu informāciju, kas mūs interesē. Tā kā mēs vēlamies samazināt paraugu ņemšanas rādītāju no $ 88 kHz $ $ līdz $ $ 44 kHz $ $, mēs varam saglabāt viens paraugs no katriem diviem secīgiem paraugiem. Šo darbību sauc par decimāciju vai downsampling (ar koeficientu $ $ 2 $ $).

Tagad mūsu sistēmā ir divi paraugu ņemšanas rādītāji; pirms decimēšanas mēs izmantojām 88 kHz $ $ paraugu ņemšanas ātrumu, un pēc decimēšanas izlases līmenis ir $ 44 kHz $ $. Tādējādi mums ir daudzpakāpju sistēma. Šī darbība samazina bitu skaitu, ko izmanto, lai pārstāvētu ieejas signālu ar koeficientu $ $ 2 $ $. Skatiet 32. lpp. No CMOS integrētajiem analogo digitālo un digitālo-analogo pārveidotājiem, lai izlasītu par vienkāršu triku, ko var izmantot, lai vēl vairāk atvieglotu analogās prefiltra prasības 3. attēlā (d).

Decimācija

Diskreta laika secība $ $ x (n) $ $, kas ir samazināta ar koeficientu $ $ M $ $, tiek dots ar šādu izteiksmi:

$ $ y_d (n) = x (Mn) $ $

Tas nozīmē, ka mēs izmantojam tikai vienu paraugu no katriem M secīgiem paraugiem. Citiem vārdiem sakot, ja $$ x (n) $ $ izlases likme bija $ $ f_s = \ frac {1} {T} $ $, tad $$ y_d (n) $ $ paraugu ņemšanas likme būs $ $ \ frac {f_s} {M} $$. Simbolu, ko izmanto decimatora koeficientam-M, un 2. faktora decimācijas piemēru, ir attēlots attiecīgi 4. (a) un 4. b) attēlā.

4. attēls. A) simbols, ko izmanto faktora-M-likvidēšanai, un (b) decimācijas faktora-2 atspoguļošana. Image courtesy of IEEE.

Tā kā factor-of-M decimācija ir līdzvērtīga parauga ņemšanai no pamatā esošā analogā signāla $ $ x_c (t) $ $ ar paraugu ņemšanas frekvenci $ $ \ frac {f_s} {M} $$, iegūstam

$ $ y_d (n) = x_c (nMT) $ $

Saskaņā ar Nyquist kritēriju, ja $ $ x_c (t) $ $ ir frekvences komponenti virs $ $ \ frac {f_s} {2M} $$, tiks lietota aliasing. Rezultātā mums parasti ir jāievieto zemas caurlaides filtru ar $$ \ frac (f_s) {2M} $$ apļa malu malu biežumu pirms faktoru-of-M mirstības bloka. Piemēram, attēlā 3, šis filtrēšanas uzdevums tiek izpildīts ar digitālo filtru, kas ir pirms decimācijas pakāpes faktoru-2. Šī filtra normalizētā sagriešanas biežums būs $ $ 2 \ pi \ frac {f_s} {2M} T = \ frac {\ pi} {M} $ $. Tas ir parādīts 5. attēlā.

5. attēls. A) Mums pirms sagriešanas jāizmanto joslas ierobežojošais filtrs; b) filtrs, ko izmanto faktora-M-likvidēšanai. Image courtesy of IEEE.

Pielikums

$$ F \ {\ sum_ (n = - \ infty) ^ (+ \ infty) \ delta (t-nT) \) = \ frac {2 \ pi} {T} \ sum_ (k = - \ infty) ^ {+ \ infty} \ delta (j (\ Omega- \ frac {2 \ pi k} {T}) $ $

Vienādojums A1