Minterm vs Maxterm šķīdums

Minterms(SOP) & Maxterms(POS) | Boolean Algebra (Maijs 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Minterm vs Maxterm šķīdums

8.nodaļa - Karnaugas kartēšana


Līdz šim mēs esam meklējuši daudzu produktu (SOP) risinājumus loģikas samazināšanas problēmām. Katram no šiem SOP risinājumiem ir arī risinājums produktu-of-summām (POS), kas atkarībā no lietojuma varētu būt noderīgāks. Pirms produktu kopsummas risinājuma izstrādes mums ir jāievieš jauna terminoloģija. Turpmākā procedūra produktu apzīmējumu kartēšanai šajā sadaļā nav jauna. Mēs vienkārši vēlamies izveidot oficiālu procedūru minerālmēsliem salīdzināšanai ar jauno maksimālo punktu procedūru.

Minterm ir loģiskā izteiksme, kuras rezultāts ir 1 vienai šūnai, un 0 s visām citām šūnām Karnaugh kartē vai patiesību tabulā. Ja mintermā ir viena 1 un atlikušās šūnas 0 sek., Šķiet, ka tas attiecas uz minimālo platību 1 s. Attēlā, kas redzams pa kreisi, tiek parādīts minterm ABC - vienotā produkta termins - vienotā 1 kartē, kas citādi ir 0 s. Mēs neesam parādījuši 0 s mūsu Karnaugh kartēs līdz šim brīdim, jo ​​tas ir parasti izlaist tos, ja vien tas nav īpaši nepieciešams. Vēl viens mintermācējs A'BC ir redzams labajā pusē. Punkts, kas jāpārskata, ir tāds, ka šūnas adrese tieši atbilst mintermam, kas tiek kartēts. Tas nozīmē, ka šūna 111 atbilst minimālajam ABC virs kreisās puses. Labāk redzams, ka minterm A'BC " tieši atbilst šūnai 010 . Boolean izteiksmei vai kartei var būt vairāki minterms.

Atsaucoties uz iepriekš minēto attēlu, mēs apkopojam procedūru minterma ievietošanai K kartē:

  • Identificējiet minterma (produkta termina) terminu, kas jāsakārto kartē.
  • Uzrakstiet atbilstošo bināro ciparu vērtību.
  • Izmantojiet bināro vērtību kā adresi, lai novietotu 1 K-kartē
  • Atkārtojiet darbības attiecībā uz citiem minterms (P-termini summa-Of-Produkti).

Būla izteiksme visbiežāk sastāv no vairākiem mintermiem, kas atbilst vairākām šūnām Karnaugh kartē, kā parādīts iepriekš. Vairāki mintermi šajā kartē ir atsevišķi minerbumi, kurus mēs pārbaudījām iepriekšējā attēlā. Pārskatā par atsauci ir tas, ka 1 s iznāk no K kartes kā bināro šūnu adresi, kas tieši pārvēršos vienā vai vairākos produkta terminos. Ar tieši mēs domājam, ka 0 atbilst papildinātajam mainīgajam, un 1 atbilst patiesajam mainīgajam. Piemērs: 010 pārvērš tieši A'BC ' . Šajā piemērā netika samazināts. Lai gan mēs esam ieguvuši produktu kopsummu no mintermām.

Atsaucoties uz iepriekš minēto skaitli, izskaidrojamies ar procedūru, kas paredzēta, lai rakstītu produktu kopsummu samazinātu Būla vienādojumu no K kartes:

  • Izveidojiet lielākās 1 sek. Grupas, kas aptver visus minerālus. Grupām jābūt 2 spēkiem.
  • Rakstīt divu skaitļu vērtību grupām.
  • Pārvērst bināro vērtību uz produkta terminu.
  • Atkārtojiet pasākumus citām grupām. Katra grupa ražo p-termiņus produktu kopsummā.

Līdz šim nekas jauns nav bijis ierakstīts formāla procedūra mintermiem. Tas kalpo kā paraugs, lai risinātu jautājumus, kas saistīti ar maksātnespēju.

Tālāk mēs uzbrukumā loģiskās funkcijas, kas ir vienai šūnai 0, un 1 sekundi visiem pārējiem.

Maxterm ir leoles izteiksme, kuras rezultāts ir vienādas šūnas izteiksmes rezultāts 0, un 1 s attiecībā uz visām pārējām Karnaugh kartes vai patiesību tabulas šūnām. Augšējā kreisajā attēlā redzams maxterm (A + B + C), vienotas summas termiņš, kā viens 0 kartē, kas citādi ir 1 s. Ja maxtermam ir viens 0 un atlikušās šūnas 1 sekundē, šķiet, ka tas aptver maksimālo platību 1 s.

Tagad ir dažas atšķirības, kad mums ir darīšana ar kaut ko jaunu, maksimālu. Maxterm ir Karnaugh kartē 0, nevis 1 . Makstermis ir summas termins (A + B + C) mūsu piemērā, nevis produkta termins.

Tas arī izskatās dīvaini, ka (A + B + C) ir ievietots šūnā 000 . Vienādojuma Out = (A + B + C) = 0, visiem trim mainīgajiem lielumiem (A, B, C) atsevišķi jābūt vienādam ar 0 . Tikai (0 + 0 + 0) = 0 būs vienāds ar 0 . Tādējādi mēs ievietojam mūsu vienīgo 0 mintermam (A + B + C) šūnā A, B, C = 000 K-kartē, kur ieejas ir visas 0 . Tas ir vienīgais gadījums, kas dos mums 0 mūsu maxterm. Visās pārējās šūnās ir 1 s, jo jebkura ievades vērtība, kas nav ( (0, 0, 0) (A + B + C), pēc novērtēšanas dod 1 s.

Atsaucoties uz iepriekšminēto skaitli, K-kartes maksimuma ievietošanas procedūra ir:

  • Norādiet summas apzīmējumu, kas jāsakārto.
  • Uzrakstiet atbilstošu bināro ciparu vērtību.
  • Veidojiet papildinājumu
  • Izmantojiet papildinājumu kā adresi, lai K-kartē ievietotu 0
  • Atkārtojiet citu maksimālo summu (summa summas izteiksmē Product-of-Summas).

Vēl viens maxterm A '+ B' + C ' ir parādīts iepriekš. Ciparu 000 atbilst A '+ B' + C ' . Komplekss ir 111 . Šajā K-kartes šūnā (1, 1, 1), kā parādīts iepriekš, novietojiet 0 maksimālam skaitlim (A '+ B' + C ') .

Kāpēc vajadzētu (A '+ B' + C ') izraisīt 0, lai būtu šūnā 111 "//www.beautycrew.com.au//sub.allaboutcircuits.com/images/14130.png">

Boolean Product-of-Summas izteiksmei vai kartei var būt vairāki maksimālie maksājumi, kā parādīts iepriekš. Maxterm (A + B + C) dod skaitlisku 111, kas papildina līdz 000, ievietojot 0 šūnā (0, 0, 0) . Maxterm (A + B + C ') dod skaitlisku 110, kas papildina 001, ievietojot 0 šūnā (0, 0, 1) .

Tagad, kad mums ir k-kartes uzstādīšana, tas, ko mēs patiešām interesējam, parāda, kā uzrakstīt produktu samazinājumu par produktiem. Veidojiet 0 s grupās. Tas būtu divu grupu zemāk. Uzrakstiet bināro vērtību, kas atbilst summai, kas ir (0, 0, X) . Abas grupas A un B ir 0 grupas. Bet C ir gan 0, gan 1, tāpēc mēs rakstām X kā vietas turētāju C. Veidojiet papildinājumu (1, 1, X) . Uzrakstiet summu (A + B), atbrīvojot C un X, kas turēja savu vietu. Parasti ir sagaidāms, ka kopsummā "Produkts-of-Summas" tiks iegūti vairāk summu. Tomēr šeit mums ir vienkāršs piemērs.

Sniegt kopsavilkumu, kā rakstīt produkta-of-Summu Būla samazinājumu K-kartei:

  • Veidojiet lielākās 0 s iespējamās grupas, kas aptver visas maksimālās vērtības. Grupām jābūt 2 spēkiem.
  • Uzrakstiet grupas bināro skaitlisko vērtību.
  • Kombinēt bināro ciparu vērtību grupai.
  • Konvertēt summas papildinājuma vērtību.
  • Atkārtojiet pasākumus citām grupām. Katrā grupā tiek iegūts termiņš produkta-of-Summa rezultātos.

Piemērs:

Turpmāk vienkāršojiet produkta-of-Summas Būla izteicienu, nodrošinot rezultātu POS formā.

Risinājums:

Nogādājiet septiņus maksimālos punktus uz zemāk esošo karti kā 0 sekundes. Noteikti papildiniet ievades mainīgos, atrodot pareizu šūnu atrašanās vietu.

Mēs uzrāda 0 s, jo tie tiek rādīti pa kreisi uz augšu uz augšu uz augšu uz augšu. Mēs atrodam pēdējos trīs maxterms ar līdera līnijām ..

Kad šūnas atrodas iepriekš, izveidojiet šūnu grupas, kā parādīts zemāk. Lielākām grupām tiks dota kopsumma ar mazākiem resursiem. Mazāk grupu rezultātā rezultāts būs mazāks.

Mums ir trīs grupas, tādēļ mēs sagaidām, ka mūsu POS rezultāti būs augstāki par trim summām. 4-šūnu grupa dod 2-mainīgu summu. Divas 2-šūnu grupas dod mums divus 3-mainīgos summu terminus. Sīkāka informācija tiek parādīta, kā mēs ieradāmies iepriekšminētajā summā. Grupai rakstīt bināro grupu ievades adresi, tad to papildina, pārveidojot to uz Būla summu. Galīgais rezultāts ir trīs summu produkts.

Piemērs:

Turpmāk vienkāršot produkta-of-Summas Būla izteicienu, nodrošinot rezultātu SOP formā.

Risinājums:

Tas izskatās kā pēdējās problēmas atkārtojums. Tas ir, izņemot to, ka mēs pieprasām daudzu produktu risinājumu, nevis to produktu skaitu, kuras mēs tikko pabeidzām. Norādiet maksimālo termiņu 0 s no produkta-of-Summām, kas norādītas kā iepriekšējā problēma, zem kreisās puses.

Tad aizpildiet implicētās 1 s atlikušajās augšējā labajā malā esošo karšu šūnās.

Veidojiet grupu 1 s, lai aptvertu visas 1 s. Pēc tam rakstiet "Summa of-Products" vienkāršoto rezultātu, kā tas ir norādīts šīs nodaļas iepriekšējā sadaļā. Tas ir identisks iepriekšējai problēmai.

Iepriekš mēs parādām gan produktu-of-Sums šķīdumu, kas iegūts no iepriekšējā piemēru, gan risinājumu summa no produktiem no salīdzināmās problēmas. Kāds ir vienkāršākais risinājums? // www.beautycrew.com.au//sub.allaboutcircuits.com/images/14138.png ">

Abu gadījumu vārtu diagrammas ir redzamas iepriekš, produktu kreisajā pusē un labajā pusē esošo produktu kopsummā.

Zemāk mēs rūpīgāk aplūkojam mūsu piemēra loģikas kopsavilkuma versiju, kas tiek atkārtota pa kreisi.

Vismaz JA vārti kreisajā pusē ir nomainīti ar NAND vārtiem labajā pusē. VR vārtus pie izejas aizstāj ar NAND vārtiem. Lai pierādītu, ka AND-OR loģika ir līdzvērtīga NAND-NAND loģikai, pārvietojiet pārveidotāja invertcukuru burtus uz 3 NAND vārtu izejas uz gala NAND ievadi, kā parādīts tālāk no labās puses uz kreiso pusi.

Virs labajā pusē redzam, ka NAND izejas vārti ar apgrieztiem ievadiem ir loģiski līdzvērtīgi VM vārdam, izmantojot DeMorgana teorēmu un dubulto negāciju. Šī informācija ir noderīga, veidojot digitālo loģiku laboratorijas apstākļos, kur TTL loģikas saimes NAND vārti ir vairāk pieejami dažādās konfigurācijās nekā citi veidi.

NAND-NAND loģikas konstruēšanas kārtība AND-OR loģikas vietā ir šāda:

  • Izveidojiet samazinātu produktu kopumu loģiku.
  • Zīmējot SOP elektroinstalāciju, nomainiet visus vārtus (gan AND, gan OR) ar NAND vārtiem.
  • Neizmantotajiem resursiem jābūt piesaistītiem loģikai.
  • Ja traucējummeklēšana rodas, iekšējie mezgli NAND vārtu izejas pirmajā līmenī nesaskaņo AND-OR diagrammas loģikas līmeņus, taču ir apgriezti. Izmantojiet NAND-NAND loģisko shēmu. Tomēr ieejas un gala izlaide ir identiski.
  • Iezīmējiet visus vairākus iepakojumus U1, U2, .. utt.
  • Izmantojiet datu lapu, lai piešķirtu pin numurus visu vārtu ieejām un izejām.

Piemērs:

Ļaujiet mums pārskatīt iepriekšējo problēmu, kas saistīta ar SOP minimizēšanu. Sastādiet produkta-of-Summas risinājumu. Salīdziniet POS risinājumu ar iepriekšējo SOP.

Risinājums:

Augšējā kreisajā pusē ir sākotnējā problēma, sākot ar 9-mintermo neobligātu Boolean izteicienu. Pārskatot, mēs izveidojām četras 4 šūnu grupas, lai iegūtu 4 produktu termiņa SOP rezultātu, pa kreisi pa kreisi.

Iepriekš attēlotā vidējā skaitlī mēs aizpildām tukšās vietas ar netiešajiem 0 s. 0 s veido divas 4-šūnu grupas. Cietā zila grupa ir (A '+ B), punktveida sarkanā grupa ir (C' + D) . Tajā tiek iegūti divi summas termini produkta-of-Summa rezultātos, virs pareizās Out = (A '+ B) (C' + D)

Salīdzinot iepriekšējo SOP vienkāršošanu (pa kreisi) ar POS vienkāršošanu, pareizi, redzams, ka POS ir visrentablākais risinājums. SOP izmanto 5 vārtu kopskaitu, POS izmanto tikai 3 vārtus. Šis POS risinājums pat izskatās pievilcīgs, izmantojot TTL loģiku rezultāta vienkāršības dēļ. Mēs varam atrast AND vārtus un VR vārtus ar 2 ieejām.

Mūsu salīdzināšanas problēmas SOP un POS vārtu diagrammas ir redzamas iepriekš.

Ņemot vērā zemāk esošos TTL loģikas ģimenes integrēto shēmu vārtus, iezīmējiet maksimālo diagrammu labajā stūrī ar apzīmējumu apzīmējumiem (U1-a, U1-b, U2-a uc) un pin numuriem.

Katra integrētās shēmas pakete, ko mēs izmantojam, saņems ķēdes apzīmējumu: U1, U2, U3. Lai atšķirtu atsevišķus vārtus iepakojumā, tos identificē kā a, b, c, d, utt 7404 hex-inverter pakete ir U1. Atsevišķi invertori tajā ir U1-a, U1-b, U1-c uc U2 ir piešķirts 7432 quad VO vārtiem. U3 ir piešķirts 7408 quad AND vārtiem. Atsaucoties uz pin numuriem uz iepakojuma diagrammas iepriekš, mēs piešķiram pin numurus visiem vārtu ieejas un izejas shēmā zemāk.

Tagad mēs varam izveidot šo shēmu laboratorijas apstākļos. Vai arī mēs varētu izstrādāt iespiedshēmu plati . Iespiedplašu shēma satur vara foliju "vadu", ko papildina nevadošs fenola vai epoksīda stikla šķiedras pamatne. Drukātas shēmas plates tiek izmantotas, lai masveidā ražotu elektroniskās shēmas. Novietojiet neizmantoto vārtu ieejas.

Iezīmē iepriekšējo POS šķīduma diagrammu augšējā kreisajā stūrī (trešais skaitlis atpakaļ) ar Circuit designators un pin numuriem. Tas būs līdzīgs tam, ko mēs tikko darījām.

Mēs varam atrast 2 ieejas un vārtus, 7408 iepriekšējā piemērā. Tomēr mums ir grūti atrast četru ieejas vai vārtu mūsu TTL katalogā. Vienīgais vārtu veids ar 4 ieejām ir 7420 NAND vārti, kas redzami labajā pusē.

Mēs varam padarīt 4 ieejas NAND vārtus 4 ieejas vai vārtiem, apgriežot ieejas NAND vārtiem, kā parādīts zemāk. Tātad mēs izmantosim 7420 4-input NAND vārtus kā VR vārtus, apgriežot ieejas.

Mēs neizmantosim atsevišķus invertorus, lai invertētu 7420 4-input NAND vārtu ieejas, bet vadīsim to ar 2 ieejas NAND vārtiem vietā UN vārtiem, kurus pieprasa SOP, minterm, risinājums. 2-ieejas NAND vārtu izejas inversija nodrošina inversiju 4-ievadei OR vārtiem.

Rezultāts ir parādīts iepriekš. Tas ir vienīgais praktiskais veids, kā to faktiski izveidot ar TTL vārtiem, izmantojot NAND-NAND loģiku, kas aizstāj AND-OR loģiku.