Logaritmi analogajām shēmām

Logaritmi : Definizione di logaritmo ed introduzione alle funzioni logaritmiche (Jūlijs 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Logaritmi analogajām shēmām

Elektronikas matemātika


jautājums 1

Matemātiskās varas koncepcija ir pazīstama lielākajai daļai algebras studentu. Piemēram, desmit līdz trešai jaudai tas nozīmē:

10 3 = 10 × 10 × 10 = 1000

. . . un astoņām līdz septītajai varai tas ir:

8 7 = 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 = 2, 097, 152

Tāpat kā atņemšana ir pievienošanas apgrieztā funkcija, un dalīšana ir apgrieztā funkcija no reizināšanas (jo ar apgrieztām funkcijām viens "atmeļ" otru), arī ir jaudas apgrieztā funkcija, un mēs to saucam par logaritmu .

Atkārtoti uzrakstiet izteiksmi 10 3 = 1000, lai tā izmantotu tādus pašus daudzumus (10, 3 un 1000) saistībā ar logaritmu, nevis jaudu, tāpat kā šeit ir parādīts, ka atņemšana ir pievienojuma apgrieztā vērtība, un Sekojošajos piemēros tiek parādīts, ka sadalījums ir reizinājums.

3 + 8 = 11 (+ un - ir apgrieztas funkcijas) 11 - 3 = 8

2 × 7 = 14 (× un ÷ ir apgrieztas funkcijas) 14 ÷ 2 = 7

10 3 = 1000 (pilnvaras un apaļkoki ir apgrieztas funkcijas) log 10 "# 1"> Atklāt atbildi Slēpt atbildi

10 3 = 1000 (jaudas un baļķi ir apgrieztas funkcijas) log 10 1000 = 3

Piezīmes:

Pēc manas pieredzes lielākā daļa amerikāņu studentu, kas mācās kopā ar mani, ir nožēlojami nepietiekami par logaritmu priekšmetu. Protams, logaritmi neredz tik daudz izmantošanu ikdienas dzīvē, kā pilnvaras darīt (un tas ir ļoti maz, lai lielākā daļa cilvēku, kā tas ir!). Logaritmi parasti bija parastajām cenām vidusskolas un koledžas studentiem, jo ​​tie bija būtiski slaida likuma izpildei, eleganta mehāniskā analogā skaitļošanas ierīce, ko tautas pirms desmit gadiem.

Šī jautājuma mērķis ir divkāršs: lai skolēni saprastu, kas ir logaritms, kā arī atgādināt viņiem par apgriezto funkciju koncepciju, kas kļūst ļoti svarīgas analogās skaitļošanas ķēdēs.

2. jautājums

Ņemot vērā šādu matemātisko izteiksmi, uzrakstiet vēl vienu, kas definē logaritmu, izmantojot vienādus mainīgos:

Ja: x y = z Tad: log ? ? =?

Atklāt atbildi Slēpt atbildi

Ja: x y = z Tad: log x z = y

Piezīmes:

Nekas īpašs šeit. Patiešām, atbildi uz šo jautājumu var iegūt no jebkura algebras mācību grāmatas.

3. jautājums

Elektroniskajiem kalkulatoriem ar logaritmas spēju ir vismaz divi dažādi logaritmu veidi: kopējais logaritms un dabiskais logaritms, kas simbolizēti attiecīgi kā "log" un "ln". Paskaidrojiet, kāda ir atšķirība starp šiem diviem logaritmu veidiem.

Atklāt atbildi Slēpt atbildi

Kopējā logaritma funkcija uzņemas "bāzu" vērtību desmit, bet dabiskais logaritms uzņem bāzes vērtību e (Eulera konstante).

Sekojošais jautājums: kāda ir aptuvenā e vērtība? Kā jūs varat saņemt savu kalkulatoru, lai sniegtu jums atbildi (nevis meklē to matemātikas grāmatā?

Piezīmes:

Daži kalkulatori, protams, ļauj jums iegūt jebkura skaitļa logaritmu jebkurai bāzei. Šeit es vienkārši gribu, lai skolēni iepazītos ar divām logaritmiskām funkcijām, kas pieejamas visvienkāršākajos zinātniskajos kalkulatoros.

Ņemiet vērā, ka daži kalkulatori parādīs tikai pietiekami daudz ciparu e, lai sniegtu nepareizu iespaidu, ka tie atkārtojas (desmit cipari: e = 2.718281828). Ja kāds norāda, ka e ir (racionāls) atkārtots decimāls skaitlis, izlabojiet šo pārpratumu, pasakot viņiem, ka tas ir neracionāls, tāpat kā π.

4. jautājums

Ievērojiet šādas logaritmiskās identitātes, izmantojot "common" (base 10) logaritmu:

log10 = 1

log100 = 2

log1000 = 3

log10000 = 4

Pirmajā vienādojumā skaitļi 10 un 1 bija saistīti ar žurnāla funkciju. Otrajā vienādojumā skaitļi 100 un 2 bija saistīti ar to pašu žurnāla funkciju un tā tālāk.

Pārveidojiet četrus vienādojumus tādā veidā, lai tie paši skaitļi būtu savstarpēji saistīti, taču nerakstot "žurnālu". Citiem vārdiem sakot, ir vienas un tās pašas matemātiskās attiecības, izmantojot kādu matemātisku funkciju, kas nav kopējā logaritma funkcija.

Atklāt atbildi Slēpt atbildi

10 1 = 10

10 2 = 100

10 3 = 1000

10 4 = 10000

Piezīmes:

Šāda veida ilustrācija palīdz skolēniem saprast, ko faktiski veic "žurnāla" funkcija.

5. jautājums

Ievērojiet šādas logaritmiskās identitātes, izmantojot "common" (base 10) logaritmu:

log0.1 = -1

log0.01 = -2

log0.001 = -3

log0.0001 = -4

Pirmajā vienādojumā skaitļi 0.1 un 1 kopā bija saistīti ar žurnāla funkciju. Otrajā vienādojumā 0, 01 un 2 numuri bija saistīti ar vienu un to pašu žurnāla funkciju un tā tālāk.

Pārveidojiet četrus vienādojumus tādā veidā, lai tie paši skaitļi būtu savstarpēji saistīti, taču nerakstot "žurnālu". Citiem vārdiem sakot, ir vienas un tās pašas matemātiskās attiecības, izmantojot kādu matemātisku funkciju, kas nav kopējā logaritma funkcija.

Atklāt atbildi Slēpt atbildi

10 -1 = 0.1

10 -2 = 0, 01

10 -3 = 0, 001

10 -4 = 0, 0001

Piezīmes:

Šāda veida ilustrācija palīdz skolēniem saprast, ko faktiski veic "žurnāla" funkcija.

6. jautājums

Pārbaudi šādu matemātisko paziņojumu progresēšanu:

(10 2 ) (10 3 ) = 100000

10 2 + 3 = 100000

10 5 = 100000

Ko norāda šis modelis? Kādu algebras principu ilustrē šie trīs vienādojumi?

Tālāk pārbaudiet šo matemātisko paziņojumu progresēšanu:

log10 5 = log100000 = 5

log10 2 + 3 = log100000 = 5

log10 2 + log10 3 = log100000 = 5

Ko norāda šis modelis? Kādu algebras principu ilustrē šie trīs vienādojumi?

Atklāt atbildi Slēpt atbildi

Pirmais modelis:

Divu bāzes numuru produkts ar dažādiem rādītājiem ir vienāds ar šo bāzes numuru, kas palielināts līdz eksponentu summai.

Otrais modelis:

Divu logaritmu summa ir vienāda ar šo divu skaitļu produkta logaritmu.

Piezīmes:

Šajā jautājumā es vēlos, lai skolēni sāk redzēt, kā logaritmi saistīti ar reizinājumu ar papildinājumu un kā pilnvaras attiecas arī uz reizināšanu. Šis ir pirmais solis, lai studenti atzītu logaritmu kā pārveidošanas funkcijas : līdzeklis, lai pārveidotu viena veida matemātisko problēmu par vienkāršāku matemātiskās problēmas veidu.

7. jautājums

Pārbaudi šo matemātisko paziņojumu progresēšanu:

(100) (1000) = 100000

(100) (1000) = 10 5

log ((100) (1000)) = log10 5

log100 + log1000 = log10 5

log10 2 + log10 3 = log10 5

2 + 3 = 5

Tas, kas sākās kā reizināšanas problēma, radās kā papildu problēma, piemērojot logaritmus. Ko tas parāda logaritmu lietderību kā aritmētisko rīku?

Atklāt atbildi Slēpt atbildi

Šie logaritmi var samazināt vienādojuma sarežģītību no reizināšanas, līdz pat papildinājumam, norāda tās lietderību kā instrumentu aritmētisko problēmu vienkāršošanai . Konkrēti, produkta logaritms ir vienāds ar divu skaitļu daudzuma logaritmu summu, kas tiek reizināti.

Piezīmes:

Matemātikā jebkura procedūra, kas samazina sarežģītas problēmas veidu vienkāršākā problēma, sauc par pārveidošanas funkciju, un logaritmi ir viens no vienkāršākajiem pārveidošanas funkciju tipiem, kas pastāv.

8. jautājums

Pieņemsim, ka jums pieder zinātnisks kalkulators ar divām salauztajām pogām: reizināt (×) un sadalīt (÷). Demonstrējiet, kā jūs varētu atrisināt šo vienkāršo reizināšanas problēmu, izmantojot tikai logaritmus, papildinājumu un antilogaritmu (pilnvaras):

7 × 5 =? ? ?

Atbilde uz šo problēmu bija pietiekami vienkārša, lai jūs varētu saprast, bez kalkulatora, tāpēc šeit ir vairākas prakses problēmas, ar kurām jūs varat izmēģināt:

23 × 35 =
781 × 92 =
19, 4 × 60 =
0, 019 × 2, 6 =
Atklāt atbildi Slēpt atbildi

Šeit es parādīšu logaritmu izmantošanas paņēmienus, lai atrisinātu pirmo pavairošanas problēmu:

7 × 5 =? ? ?

7 × 5 = 10 log7 + log5

7 × 5 = 10 0, 8451 + 0, 6990

7 × 5 = 10 1.5441

7 × 5 = 35

Tā kā pārējie ir pietiekami vienkārši, lai jūs varētu pārbaudīt (ar savu nesadalīto kalkulatoru!), Es atstošu savus risinājumus spējīgajās rokās.

Piezīmes:

Starp citu, nav nekā īpaša attiecībā uz kopējo logaritmu, kas attaisno tā ekskluzīvo izmantošanu šajā problēmā. Mēs varētu tikpat viegli pielietot dabiskā logaritma funkciju ar tādu pašu (galīgo) rezultātu:

7 × 5 =? ? ?

7 × 5 = e ln7 + ln5

7 × 5 = e 1, 9459 + 1, 6094

7 × 5 = e 3.5553

7 × 5 = 35

9. jautājums

Pārbaudi šo matemātisko paziņojumu progresēšanu:

1000


100

= 10

1000


100

= 10 1

žurnāls⎛ ⎝ 1000


100

⎞ ⎠ = log10 1

log1000 - log100 = log10 1

log10 3 - log10 2 = log10 1

3 - 2 = 1

Tas, kas sākās kā sadalīšanas problēma, nonāca kā atņemšanas problēma, pielietojot logaritmus. Ko tas parāda logaritmu lietderību kā aritmētisko rīku?

Atklāt atbildi Slēpt atbildi

Šie logaritmi var samazināt vienādojuma sarežģītību no dalīšanas, līdz atņemšanai, norāda tās lietderību kā instrumentu aritmētisko problēmu vienkāršošanai . Konkrēti, koeficienta logaritms ir vienāds ar starpību starp divu sadalāmo skaitļu logaritmiem.

Piezīmes:

Matemātikā jebkura procedūra, kas samazina sarežģītas problēmas veidu vienkāršākā problēma, sauc par pārveidošanas funkciju, un logaritmi ir viens no vienkāršākajiem pārveidošanas funkciju tipiem, kas pastāv.

10. jautājums

Pieņemsim, ka jums pieder zinātnisks kalkulators ar divām salauztajām pogām: reizināt (×) un sadalīt (÷). Demonstrējiet, kā jūs varētu atrisināt šo vienkāršo reizināšanas problēmu, izmantojot tikai logaritmus, papildinājumu un antilogaritmu (pilnvaras):

12 ÷ 3 =? ? ?

Atbilde uz šo problēmu bija pietiekami vienkārša, lai jūs varētu saprast, bez kalkulatora, tāpēc šeit ir vairākas prakses problēmas, ar kurām jūs varat izmēģināt:

122 ÷ 35 =
781 ÷ 92 =
19.4 ÷ 60 =
3, 5 ÷ 0, 21 =
Atklāt atbildi Slēpt atbildi

Šeit es parādīšu logaritmu izmantošanas paņēmienus, lai atrisinātu pirmo pavairošanas problēmu:

12 ÷ 3 =? ? ?

12 ÷ 3 = 10 log12 - log3

12 ÷ 3 = 10 1.0792 - 0.4771

12 ÷ 3 = 10 0.6021

12 ÷ 3 = 4

Tā kā pārējie ir pietiekami vienkārši, lai jūs varētu pārbaudīt (ar savu nesadalīto kalkulatoru!), Es atstošu savus risinājumus spējīgajās rokās.

Piezīmes:

Starp citu, nav nekā īpaša attiecībā uz kopējo logaritmu, kas attaisno tā ekskluzīvo izmantošanu šajā problēmā. Mēs varētu tikpat viegli pielietot dabiskā logaritma funkciju ar tādu pašu (galīgo) rezultātu:

12 ÷ 3 =? ? ?

12 ÷ 3 = e ln12 - ln3

12 ÷ 3 = e 2.4849 - 1.0986

12 ÷ 3 = e 1, 3863

12 ÷ 3 = 4

11. jautājums

Pārbaudi šo matemātisko paziņojumu progresēšanu:

(1000) 2 = 1000000

(1000) 2 = 10 6

log ((1000) 2 ) = log10 6

(2) (log1000) = log10 6

(2) (log10 3 ) = log10 6

(2) (3) = 6

Tas, kas sākās kā eksponenciāla problēma, nonāca kā reizināšanas problēma, pielietojot logaritmus. Ko tas parāda logaritmu lietderību kā aritmētisko rīku?

Atklāt atbildi Slēpt atbildi

Šie logaritmi var samazināt vienādojuma sarežģītību no eksponencijas, līdz pat reizināšanai, norāda uz tās lietderību kā instrumentu aritmētisko problēmu vienkāršošanai . Konkrēti, daudzuma logaritms, kas palielināts līdz jaudai, ir vienāds ar šo jaudu, kas reizināta ar numura logaritmu.

Piezīmes:

Matemātikā jebkura procedūra, kas samazina sarežģītas problēmas veidu vienkāršākā problēma, sauc par pārveidošanas funkciju, un logaritmi ir viens no vienkāršākajiem pārveidošanas funkciju tipiem, kas pastāv.

12. jautājums

Pieņemsim, ka jums pieder zinātnisks kalkulators ar divām salauztajām pogām: jauda (y x ) un sakne ( x

√ (y)). Demonstrējiet to, kā jūs varētu atrisināt šo vienkāršo jaudas problēmu, izmantojot tikai logaritmus, reizinājumu un antilogaritmu (pilnvaras):

3 4 =? ? ?

Atbilde uz šo problēmu bija pietiekami vienkārša, lai jūs varētu saprast, bez kalkulatora, tāpēc šeit ir vairākas prakses problēmas, ar kurām jūs varat izmēģināt:

25 6 =
564 3 =
0.224 2 =
41 0.3 =
Atklāt atbildi Slēpt atbildi

Šeit es parādīšu logaritmu izmantošanas paņēmienus, lai atrisinātu pirmo pavairošanas problēmu:

3 4 =? ? ?

3 4 = 10 (4 log3)

3 4 = 10 (4) (0.4771)

3 4 = 10 1.9085

3 4 = 81

Tā kā pārējie ir pietiekami vienkārši, lai jūs varētu pārbaudīt (ar savu nesadalīto kalkulatoru!), Es atstošu savus risinājumus spējīgajās rokās.

Piezīmes:

Starp citu, nav nekā īpaša attiecībā uz kopējo logaritmu, kas attaisno tā ekskluzīvo izmantošanu šajā problēmā. Mēs varētu tikpat viegli pielietot dabiskā logaritma funkciju ar tādu pašu (galīgo) rezultātu:

3 4 =? ? ?

3 4 = e (4 ln3)

3 4 = e (4) (1.0986)

3 4 = e 4.3944

3 4 = 81

13. jautājums

Pārbaudi šo matemātisko paziņojumu progresēšanu:


1000

= 10 1, 5

žurnāls


1000

= log (10 1, 5 )

log (1000 1/2) = log (10 1, 5 )

1


2

(log1000) = žurnāls (10 1, 5 )

1


2

(log10 3 ) = log (10 1, 5 )

3


2

(log10) = log (10 1, 5 )

3


2

(1) = log (10 1, 5 )

3


2

= log (10 1, 5 )

3


2

= 1, 5

Tas, kas sākās kā daļēja eksponenta problēma, beidzās ar vienkāršu frakciju, pielietojot logaritmus. Ko tas parāda logaritmu lietderību kā aritmētisko rīku?

Atklāt atbildi Slēpt atbildi

Šie logaritmi var samazināt vienādojuma sarežģītību no daļējas eksponēšanas, līdz pat vienkāršām daļām, norāda uz tās lietderību kā instrumentu aritmētisko problēmu vienkāršošanai . Konkrēti, skaitļa saknes logaritms ir vienāds ar šī skaitļa logaritmu, kas dalīts ar saknes indeksu.

Piezīmes:

Matemātikā jebkura procedūra, kas samazina sarežģītas problēmas veidu vienkāršākā problēma, sauc par pārveidošanas funkciju, un logaritmi ir viens no vienkāršākajiem pārveidošanas funkciju tipiem, kas pastāv.

14. jautājums

Pieņemsim, ka jums pieder zinātnisks kalkulators ar divām salauztajām pogām: jauda (y x ) un sakne ( x

√ (y)). Demonstrējiet, kā jūs varētu atrisināt šo vienkāršo root problēmu, izmantojot tikai logaritmus, sadalīšanu un antilogaritmus (pilnvaras):

3


8

=? ? ?

Atbilde uz šo problēmu bija pietiekami vienkārša, lai jūs varētu saprast, bez kalkulatora, tāpēc šeit ir vairākas prakses problēmas, ar kurām jūs varat izmēģināt:

4 √ {13} =
5 √ {209} =
2, 5 √ {9935} =
9, 2 √ (0, 15) =
Atklāt atbildi Slēpt atbildi

Šeit es parādīšu logaritmu izmantošanas paņēmienus, lai atrisinātu pirmo pavairošanas problēmu:

3


8

=? ? ?

3


8

= 10 (1/3 log8)

3


8

= 10 (1/3 (0.9031))

3


8

= 10 0, 3010

3


8

= 2

Tā kā pārējie ir pietiekami vienkārši, lai jūs varētu pārbaudīt (ar savu nesadalīto kalkulatoru!), Es atstošu savus risinājumus spējīgajās rokās.

Piezīmes:

Starp citu, nav nekā īpaša attiecībā uz kopējo logaritmu, kas attaisno tā ekskluzīvo izmantošanu šajā problēmā. Mēs varētu tikpat viegli pielietot dabiskā logaritma funkciju ar tādu pašu (galīgo) rezultātu:

3


8

=? ? ?

3


8

= e (1/3 ln8)

3


8

= e (1/3 (2.0794))

3


8

= e 0, 6931

3


8

= 2

15. jautājums

Jums var būt jautājums, kāpēc ikviens varētu apgrūtināt izmantot logaritmus, lai atrisinātu aritmētiskās problēmas, par kurām mums ir pilnīgi labas un efektīvas digitālās elektroniskās kalkulatora funkcijas. Piemēram, kāpēc kāds to darītu:

10 log7 + log5

. . . kad viņi varēja vienkārši izdarīt sekojošu informāciju par to pašu kalkulatoru?

7 × 5

Ātrā atbilde uz šo ļoti labo jautājumu ir, "ja ir grūtāk tieši palielināt divus skaitļus." Problēma ir tāda, ka lielākajai daļai cilvēku ir grūti iedomāties laiku, kad būtu vieglāk ņemt divus logaritmus, pievienot tos kopā un paaugstināt desmit līdz šai jaudai, nekā tas būtu vienkārši pavairojot sākotnējos divus skaitļus kopā.

Atbilde uz šo noslēpumu ir atrodama operatīvās pastiprinātāja shēmās. Izrādās, daudz vieglāk ir izveidot vienas opamp ķēdes, kas pievieno, atņem, piesaista vai ņem logaritmus, nevis veido vienu, kas tieši vairo divus daudzumus (analogos spriegumus) kopā.

Mēs varam domāt par šīm opamp funkcijām kā "blokiem", kas var būt savstarpēji savienoti, lai veiktu saliktas aritmētiskās funkcijas:

Izmantojot šo īpašo matemātisko funkciju "bloki" modeli, parādīts, kā var apvienot šādu analogo matemātisko funkciju bloku kopumu, lai reizinātu divus analogos spriegumus:

Atklāt atbildi Slēpt atbildi

Piezīmes:

Šī jautājuma mērķis ir vienkāršs: praktiski pielietot logaritmas kā skaitļošanas palīglīdzekļus gadalaikā lētām, visuresošām digitālajām skaitļošanas ierīcēm.

16. jautājums

Logaritmiem ir interesantas īpašības, kuras mēs varam izmantot elektroniskajās shēmās, lai veiktu noteiktas sarežģītas operācijas. Šajā jautājumā es ieteiktu jums izmantot rokas kalkulatoru, lai izpētītu šīs īpašības.

Aprēķiniet sekojošo:

10 log3 =
log (10 8 ) =
e ln3 =
ln (e 8 ) =
10 (log3 + log5) =
e (ln3 + ln5) =
10 (log2.2 + log4) =
e (ln2, 2 + ln4) =
10 (log12 - log4) =
e (ln12 - ln4) =
10 (2 log3) =
e (2 ln3) =
10 ((log25 / 2)) =
e ((ln25 / 2)) =
Atklāt atbildi Slēpt atbildi

10 log3 = 3
log (10 8 ) = 8
e ln3 = 3
ln (e 8 ) = 8
10 (log3 + log5) = 15
e (ln3 + ln5) = 15
10 (log2.2 + log4) = 8.8
e (ln2, 2 + ln4) = 8.8
10 (log12 - log4) = 3
e (ln12 - ln4) = 3
10 (2 log3) = 9
e (2 ln3) = 9
10 ((log25 / 2)) = 5
e ((ln25 / 2)) = 5

Piezīmes:

Apspriediet, kādas matemātiskās darbības tiek veiktas ar konstantiem šajos vienādojumos, izmantojot logaritmus. Kādi modeļi jūsu skolēniem norāda "meta-tags hidden-print">

Saistītie rīki:

Atstarpe Attenuator Kalkulators N-Way Power Divider kalkulators Broadside Coupled Trace Induktivitātes kalkulators

  • ← Iepriekšējā darba lapa

  • Darba lapa indekss

  • Nākamā darblapa →